Étude de fonction

$f$ est un polynôme, donc défini sur $\mathbb{R}$. $$D_f = \mathbb{R}$$

On étudie la limite en $+\infty$ :

$$f(x)= -4x^3 - x^2 + 2x$$

Lorsque $x \to +\infty$, chaque terme tend vers $\pm \infty$ :

• $\lim_{x\to+\infty}\ -4x^3 \ =\ -\infty$
• $\lim_{x\to+\infty} -x^2 \ =\ -\infty$
• $\lim_{x\to+\infty}\ 2x\ =\ +\infty$

On est donc en présence d’une forme indéterminée de type $\infty - \infty$.

On factorise par $x^3$ :

$$f(x)= x^3\left(-4 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}\right)$$

Quand $x \to +\infty$ :

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} \ =\ 0 \quad ; \quad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2} \ =\ 0$$ Donc : $$f(x)\sim x^3(-4)$$ $$f(x)\sim -4x^3$$ Donc : $$\lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$$

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On étudie la limite en $-\infty$ :

$$f(x)= x^3\left(-4 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}\right)$$

Quand $x \to -\infty$ :

• $\lim_{x\to-\infty} x^3 \ =\ -\infty$
• $\lim_{x\to-\infty}(-4 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}) \ =\ -4$

Donc : $$f(x)\sim (-\infty)\times(-4)=+\infty$$

Conclusion :

$$\lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$$ $$\lim_{x\to-\infty} f(x) = +\infty$$

$$f'(x)= -12x^2 -2x +2$$

$$-12x^2 -2x +2 =0$$ $$\Delta = 100$$ $$x_1 = -\frac{1}{2} \quad ; \quad x_2 = \frac{1}{3}$$

Comme le coefficient directeur est négatif, le signe de $f'$ est :

• $f'(x)<0$ sur $(-\infty,-\frac{1}{2})$
• $f'(x)>0$ sur $(-\frac{1}{2},\frac{1}{3})$
• $f'(x)<0$ sur $(\frac{1}{3},+\infty)$

Donc :

• $f$ est décroissante sur $(-\infty,-\frac{1}{2})$
• $f$ est croissante sur $(-\frac{1}{2},\frac{1}{3})$
• $f$ est décroissante sur $(\frac{1}{3},+\infty)$

x	-\infty	\(-\frac12\)	\(\frac13\)	+\infty
\(f'(x)\)	+	0	-	0	+
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	\(f(-\tfrac12)\)	\(\searrow\)	\(f(\tfrac13)\)	\(\nearrow\)

$f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Sur l’intervalle $[-1;-0.5]$ :

$$f(-1)=1 \quad ; \quad f(-0.5)=-0.75$$

Donc :

$$f(-1) > 0.5 \quad et \quad f(-0.5)=0.5$$

De plus, $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[-1;-0.5]$. La fonction est comprise entre $[1 ; -0.75]

Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires,

il existe une unique solution $\alpha \in [-1;-0.5]$.

Par calcul :

$$\alpha \approx -0.51$$

Donc :

$$-0.70 >\alpha >-0.71 \quad -0.52 < f(\alpha)< -0.49$$